Cho các số a,b,c,d>0. CMR: a^3/bc+b^3/ac+c^3/ab>=a+b+c
Cho a,b,c>0;a+b+c=3
CMR:(a^2+bc)/(b^2+ac)+(b+ac)/(c+ab)+(c^2+ac)/(a+ab)>=3
1. cho a,b,c là các số dương .Cmr :
\(\dfrac{a^3+b^3}{ab}+\dfrac{b^3+c^3}{bc}+\dfrac{a^3+c^3}{ac}\ge2\left(a+b+c\right)\)
Chứng minh: \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\left(1\right)\)
\(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)\ge xy\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3\ge4xy\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) đúng
\(\Rightarrow\left(1\right)\) đúng
Áp dụng BĐT \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)
\(\dfrac{a^3+b^3}{ab}+\dfrac{b^3+c^3}{bc}+\dfrac{c^3+a^3}{ca}\)
\(\ge\dfrac{ab\left(a+b\right)}{ab}+\dfrac{bc\left(b+c\right)}{bc}+\dfrac{ca\left(c+a\right)}{ca}\)
\(=2\left(a+b+c\right)\)
Cho a,b,c,d là các số thực không âm thỏa \(a^2+b^2+c^2+d^2=4\). CMR:
\(2\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)\ge2+\dfrac{3}{\sqrt{2}}\sqrt{2+ab+ac+ad+bc+bd+dc}\)
BĐT cần c/m tương đương:
\(2\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)\ge2+\dfrac{3}{2}\sqrt{4+2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)\ge2+\dfrac{3}{2}\sqrt{\left(a+b+c+d\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)\ge2+\dfrac{3}{2}\left(a+b+c+d\right)\)
\(\Leftrightarrow4\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)\ge4+3\left(a+b+c+d\right)\)
Dễ dàng chứng minh điều này bằng AM-GM:
\(a^3+a^3+1+b^3+b^3+1+c^3+c^3+1+d^3+d^3+1\ge3a^2+3b^2+3c^2+3d^2\)
\(\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)+4\ge12\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+d^3\ge4\) (1)
Lại có:
\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge\dfrac{1}{4}\left(a+b+c+d\right)^2\)
\(\Rightarrow a+b+c+d\le4\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow4\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)\ge16\ge4+3.4\ge4+3\left(a+b+c+d\right)\) (đpcm)
Cho a,b,c>0 . CMR :
a^3/b + b^3/c + c^3/a >= ab + bc + ac
Ta có: \(a^3+b^3+c^3\ge3abc\) ( BĐT Cauchy )
\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge\dfrac{abc}{b}+\dfrac{abc}{c}+\dfrac{abc}{a}\)
Hay \(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge ac+ab+bc\left(đpcm\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương , ta có :
\(\dfrac{a^3}{b}+ab\) ≥ \(2\sqrt{\dfrac{a^3}{b}.ab}=2\sqrt{a^4}=2a^2\left(1\right)\)
\(\dfrac{b^3}{c}+bc\) ≥ \(2\sqrt{\dfrac{b^3}{c}.bc}=2\sqrt{b^4}=2b^2\left(2\right)\)
\(\dfrac{c^3}{a}+ac\) ≥ \(2\sqrt{\dfrac{c^3}{a}.ac}=2\sqrt{c^4}=2c^2\left(3\right)\)
Cộng từng vế của ( 1 ; 2 ; 3) , ta có :
\(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}+ab+bc+ac\) ≥ \(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\) ( * )
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương , ta có :
\(a^2+b^2\) ≥ \(2ab\left(4\right)\)
\(b^2+c^2\) ≥ \(2bc\left(5\right)\)
\(c^2+a^2\) ≥ \(2ac\left(6\right)\)
Cộng từng vế của ( 4 ; 5 ; 6) , ta có :
\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\) ≥ \(2\left(ab+bc+ac\right)\) ( ** )
Từ ( * ; ** ) , ta có :
\(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}+ab+bc+ac\) ≥ \(2\left(ab+bc+ac\right)\)
⇔ \(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\) ≥ \(ab+bc+ac\)
Cho các số a,b,c khác 0 thoả mãn:ab/a+b=ac/a+c=bc/b+c
Tính P= ab^2+bc^2+ac^2/ a^3+b^3+c^3
Cho a,b,c>0 Cmr a^3/(a^2+ab+b^2)+b^3/(b^2+bc+c^2)+c^3/(c^2+ac+a^2)>=(a+b+c)/3
a)Cho 3 số dương 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 1. CMR : (a/bc+1)+(b/ac+1)+(c/ab+1) ≤ 2
b)Cho a,b,c la 3 canh của 1 Δ. CMR :2(ab+bc+ca) > a2+b2+c2.cho a,b,b>0 và
P= a^3/a^2+ab+b^2 + b^3/b^2+bc+c^2 + c^3/c^2+ac+a^2
Q=b^3/a^2+ab+b^2 + c^3/b^2+bc+c^2 + a^3/c^2+ac+a^2
CMR P=Q
.Tuy nhiên mik có thể chữa lại đề cho ae dễ đọc nha:
Cho a,b,c>0 và:
\(P=\frac{a^3}{a^2}+ab+b^2+\frac{b^3}{b^2}+bc+c^2+\frac{c^3}{c^2}+ac+a^2.\)
\(Q=\frac{b^3}{a^2}+ab+b^2+\frac{c^3}{b^2}+bc+c^2+\frac{a^3}{c^2}+ac+a^2.\)
Chứng minh rằng:P=Q.
cho 4 điểm a b c không đồng thời bằng 0 và 2 biểu thức : M = a^3/(a^2+ab+b^2)+b^3/(b^2+bc+c^2)+c^3/(c^2+ac+a^2) và N = b^3/(a^2+ab+b^2)+c^3/(b^2+bc+c^2)+a^3/(c^2+ac+a^2). CMR: M >= (a+b+c)/8
cho 2 biểu thức mà c/m 1 biểu thức M là sao
Biểu thức N vứt sọt à hay làm cái j v :V
tớ cũng nghĩ vậy nhưng mãi sau mới biết chứng minh M =N rồi chứng minh N >=(a+b+c)/8 để suy ra M >=(a+b+c)/8